INTRODUCTION

The study can be divided into 3 parts.

In the first part, the purpose is to solve the polynomial equations with complex coefficient. To do so, we take advantage of the power iteration method, a commonly used method to obtain eigenvectors or eigenvalues of a square matrix. The fact is that finding eigenvalues of a matrix is equivalent to solving a polynomial equation.

Similar to the previous, the goal of the second part is also finding the roots with some numerical approaches; however, we focus on Riemann Zeta function zeta(z) rather than the polynomial equation. Hence the scheme applied in the former part is no longer feasible, we make use of another method called the gradient descent, an algorithm for finding the minimum(s) of the function. The trace of gradient descent of zeta(z) is drawn in Fig. 1.

In the last part, we are going to survey the relation between the real part and the imaginary part of the complex analytic function. Given a complex analytic function, we want to investigate the values of the imaginary part when we merely have those of the real part. The result shown in Fig. 2. is the surface of the real part and Fig. 3. is the error of the real part. Fig. 4. is the surface of the imaginary part which was investigated by the real part, and Fig. 5. is the error of the imaginary part.


Fig. 1


Fig. 2


Fig. 3


Fig. 4


Fig. 5

心得感想

對於專題的名稱:複變函數解析延宕的數值研究方法,我和其他同學一開始聽到時,心中充滿許多的疑問,不知道教授會要求我們做什麼。在暑假的時候教授就有分派一些作業給我們,他希望我們在正式探討專題時,先去嘗試解多項式的根。所以我們由簡單的多項式解起,然後慢慢讓多項式變得複雜,當然過程中會遇到許多困難,像是解有虛部,或是有重根的情況,因此我們嘗試許多的想法去設法解決,也因為這樣,在討論的過程中或許會有爭吵,但也在爭吵的過程中使得交流更加的頻繁,彼此的關係也慢慢的加溫,心中一有想法便可與組員討論,不必在意是否自己的問題過於簡單,因為大家很樂意幫你解答,此外,丟出的問題往往能激盪新的想法,獲得不一樣的收穫,最後我們如願找到適用於所有情況的多項式解法,也是一個好的開始。

到了開學,教授首先要求我們看一本名為黎曼猜想的書,教授希望我們嘗試去探索一個問題:黎曼函數的非平凡點的實數部分在1/2,由於這個問題非常的艱深,所以教授也希望能從已有的演算法去模擬這個問題的答案。所以我們挑選一個方式,用程式語言去推敲這個問題,因為解在實數為1/2的位置有無限多個,但是我和組員的能力有限,因此我們設法去解出其中的幾個,並確認其正確性這樣,當做完此項任務時,一半的學期也過去了。接下來的時間,老師要求的任務為:從隨便一個點的位置,一路走到最近的解的位置,並記錄路徑,並用圖形呈現。因此我和組員嘗試許多的數值方式,當然過程中也有許多的不如意,不過我們還是成功地完成任務。雖然完成老師的要求,也努力了很久,但是其實只是窺探其中一小部分,也不禁讓我們深刻的體驗到數學的奧妙。

到了下學期,則是探討複變函數的實數部分和虛部部分跟拉普拉斯方程式之間的關係。一個可解析的複變函數的實數部分和虛部部分會遵守柯西萊曼方程組,那麼我們嘗試用拉普拉斯方程式先解出實數部分,然後再用實數部藉著柯西萊曼方程組的關係推出虛數部分,最後再跟正確的虛數部分做比較,判斷其正確性。一開始我們研究許多論文如何用程式去解拉普拉斯方程式,而這部份就花了我們大半的學期,儘管辛苦,不過結果總是甜美的。在完成這部分後後面的部分就相對容易許多了,所以在最後的半個學期,我們就在如何解剩下的部分,最後也成功做出來並用圖形分析結果和探討相關的東西。

整個專題做下來並不輕鬆,過程中有苦有笑,不過也獲得了不少的收穫。另外,真的很感謝有組員的陪伴,過程中不斷砥礪彼此,勉勵彼此,也照顧了我許多。最後非常感謝專題教授的指導,因為常常給了我們適時的幫助和指引,使學習的路上多了道閃耀的明燈,指引著我們的學習方向。